O Método de Akra-Bazzi na Resolução de Equações de Recorrência

O método de Akra-Bazzi é um dos métodos mais poderosos para solucionar relações de recorrência advindas de algoritmos de divisão e conquista. Tal método abrange uma quantidade muito maior de relações de recorrência que o Teorema Mestre.

Neste artigo, apresentarei o método de Akra-Bazzi do livro Algoritmos: teoria e prática com algumas simplificações.

Além do método, você verá, ao longo texto, algumas relações de recorrências clássicas resolvidas através do método de Akra-Bazzi, com o intuito de demonstrar o seu potencial. Também resolveremos algumas relações que o Teorema Mestre é incapaz de resolver.

Aviso: esta página utiliza a biblioteca em JavaScript MathJax para renderização das fómulas matemáticas em LaTeX. Caso as fómulas não renderizem ou fiquem estranhas, recarregue a página.

Índice

• O método
• Exemplos Clássicos
  • A Busca Binária
  • Merge Sort
  • Algoritmo de Strassen
  • Quicksort não balanceado
• Exemplos Gerais
  • Exemplo 1
  • Exemplo 2
  • Exemplo 3
• Conclusão
• Leia também
• Download em PDF
• Apêndice: Mudança de Base de Logaritmo
• Referências

O método

O método de Akra-Bazzi resolve relações de recorrência da forma

$$T(n)=\begin{cases} c_0, &n=x_0\\ \sum_{i=1}^k a_iT\left(b_i n\right)+f(n),&n>x_0 \end{cases}\quad \text{(3)}$$ onde

1. $a_i > 0$;
2. $0<b_i<1$;
3. $f(n)$ é uma função real, positiva e que satisfaz a condição de crescimento polinomial. De forma simplificada, se $|f'(n)|$ tiver como limitante superior algum polinômio, ou seja, $\left|f'(n)\right|= O(n^a),\ a\in\mathbb{N}$, então $f(n)$ satisfaz a condição de crescimento polinomial;
4. $k \geq 1$;
5. $c_0\in\mathbb{R}$;
6. $x_0\in\mathbb{N}$.

Assim, considerando tal relação de recorrência e, seja a constante $p$, a única raiz real da equação

$$\sum_{i=1}^k a_ib_i^p = 1, \quad \text{(4)}$$

então,

$$T(n) =\Theta\left(n^p+n^p\int_{n_0}^n \frac{f(x)}{x^{p+1}}\ dx\right),\quad \text{(5)}$$

onde $n_0$ é uma constante suficientemente grande. Podemos, por exemplo, escolher $n_0$ de tal forma que o limite inferior da integral seja zero, ou seja, simplesmente o ignoramos, pois contribuirá apenas em um termo constante, que será "absorvido" por termos com maior ordem de grandeza.

Os dois pontos fundamentais da equação são justamente a equação (4) e a integral em (5). Em particular, nem sempre é possível resolver analiticamente a equação (4), o que nos leva a recorrer aos métodos numéricos. Por outro lado, a integral em (5) pode ser complicada de se resolver dependendo de como é a função $f(n)$.

Todavia, o método de Akra-Bazzi é mais flexível e resolve qualquer relação de recorrência que o Teorema Mestre é capaz de resolver. Outro aspecto importante é que o Teorema Mestre só resolve relações de recorrência nas quais os subproblemas possuem o mesmo tamanho. Por outro lado, o método de Akra-Bazzi não possui tal restrição.

Ir para o índice

Exemplos Clássicos

Agora que o método de Akra-Bazzi foi apresentado, vamos utilizá-lo na resolução de algumas relações de recorrência clássicas.

A Busca Binária

A relação de recorrência da busca binária recursiva é dada por

$$T(n)=\begin{cases} c_0, & n=1\\ T(n/2) + c_1, & n > 1 \end{cases}$$

onde $c_0$ e $c_1$ são constantes. Por simplicidade, mas sem perda de generalidade, assumiremos que $c_0=c_1=1$, ou seja,

$$T(n)=\begin{cases} 1, &n=1\\ T(n/2) + 1, &n > 1.\end{cases}$$

Pelo método de Akra-Bazzi, temos que $k = 1$ (pois só há um termo envolvendo $T(n)$), $f(n) = 1$, $a_1 = 1$, $b_1 = \dfrac{1}{2}$. $f(n)$ obviamente satisfaz a condição de crescimento polinomial, pois $\left|f'(n)\right| = 0 = O(1)$. Pela equação (4), temos

$$\begin{align*} \sum_{i=1}^k a_ib_i^p = a_1b_1^p = 1\\\left(\frac{1}{2}\right)^p = 1\\\log_2\left(\frac{1}{2}\right)^p = \log_2 1\\p\log_2\left(\frac{1}{2}\right) = 0\\ -p = 0\\ p = 0. \end{align*}$$

Portanto, pela equação (5)

$$\begin{align*} T(n)&=\Theta\left(n^p+n^p\int_{n_0}^n \frac{f(x)}{x^{p+1}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^0+n^0\int_{n_0}^n \frac{1}{x^{0+1}}\ dx\right)\\&=\Theta\left(1+1\times\int_{n_0}^n \frac{1}{x}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(1+\int_{n_0}^n \frac{1}{x}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(1+\left. \ln x\right|_{n_0}^n\right)\\ &=\Theta\left(1+\ln n - \ln n_0\right) \end{align*}$$

escolhendo $n_0 = 1$, temos

$$\begin{align*} T(n) =\Theta\left(1+\ln n\right) = \Theta\left(\ln n\right), \end{align*}$$

que é um resultado já conhecido. Não devemos nos preocupar com a base do logaritmo, pois isso influencia apenas por fatores constantes (basta aplicar a propriedade da mudança de base dos logaritmos para verificar essa afirmação).

Ir para o índice

Merge Sort

De maneira simplificada, mas sem perda de generalidade, a relação de recorrência do algoritmo de ordenação por intercalação (Merge Sort) é dada por

$$T(n)= \begin{cases} 1, & n=1\\ 2T(n/2) + n, &n > 1. \end{cases}$$

Novamente, igualamos algumas das constantes a um, pois influenciariam apenas por fatores constantes.

Pelo método de Akra-Bazzi, temos que $k = 1$ (pois só há um termo envolvendo $T(n)$), $f(n) = n$, $a_1 = 2$, $b_1 = \frac{1}{2}$. $f(n)$ obviamente satisfaz a condição de crescimento polinomial, pois $|f'(n)| = 1 = O(1)$. Pela equação (4), temos

$$\begin{align*} \sum_{i=1}^k a_ib_i^p = a_1b_1^p = 2\times\left(\frac{1}{2}\right)^p = 1\\ \left(\frac{1}{2}\right)^p = \frac{1}{2}\\ \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)^p = \log_2 \frac{1}{2}\\ p \log_2 \left(\frac{1}{2}\right) = -1\\ -p = -1\\ p = 1 \end{align*}$$

Portanto, pela equação (5)

$$\begin{align*} T(n)&=\Theta\left(n^p+n^p\int_{n_0}^n \frac{f(x)}{x^{p+1}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^1+n^1\int_{n_0}^n \frac{x}{x^{1+1}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n+n\int_{n_0}^n \frac{x}{x^2}\ dx\right)\\&=\Theta\left(n+n\int_{n_0}^n \frac{1}{x}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n+n\left(\left. \ln x\right|_{n_0}^n\right)\right)\\ &=\Theta\left(n+n\ln n - n\ln n_0\right) \end{align*}$$

escolhendo $n_0 = 1$, temos

$$\begin{align*} T(n) =\Theta\left(n+n\ln n\right) = \Theta\left(n\ln n\right), \end{align*}$$

que é um resultado já conhecido. Já que $n\ln n$ é assintoticamente maior que $n$, então o termo $n$ foi descartado. Novamente, não devemos nos preocupar com a base do logaritmo, pois isso influencia apenas por fatores constantes.

Repare que a mesma equação de recorrência é válida para o melhor caso do Quicksort, que ocorre quando o particionamento é balanceado.

Ir para o índice

Algoritmo de Strassen

O algoritmo de Strassen realiza multiplicações de matrizes utilizando o paradigma de divisão e conquista. A relação de recorrência de tal algoritmo é dada por

$$T(n)= \begin{cases} 1, &n=1\\ 7T(n/2) + n^2, &n > 1\end{cases}$$

Algumas simplificações foram realizadas, mas o resultado final não será afetado.

Pelo método de Akra-Bazzi, temos que $k = 1$, $f(n) = n^2$, $a_1 = 7$, $b_1 = \frac{1}{2}$. $f(n)$ obviamente satisfaz a condição de crescimento polinomial, pois $|f'(n)| = 2n = O(n)$. Pela equação (4), temos

$$\begin{align*} \sum_{i=1}^k a_ib_i^p = a_1b_1^p = 7\times\left(\frac{1}{2}\right)^p = 1\\ \left(\frac{1}{2}\right)^p = \frac{1}{7}\\ \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)^p = \log_2 \frac{1}{7}\\ p \log_2 \left(\frac{1}{2}\right) = -\log_2 7\\ -p = -\log_2 7\\ p = \log_2 7 \end{align*}$$

Portanto, pela equação (5)

$$\begin{align*} T(n)&=\Theta\left(n^p+n^p\int_{n_0}^n \frac{f(x)}{x^{p+1}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^{\log_2 7}+n^{\log_2 7}\int_{n_0}^n \frac{x^2}{x^{\log_2 7+1}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^{\log_2 7}+n^{\log_2 7}\int_{n_0}^n \frac{x^2}{x\times x^{\log_2 7}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^{\log_2 7}+n^{\log_2 7}\int_{n_0}^n \frac{x}{x^{\log_2 7}}\ dx\right)\\ & =\Theta\left(n^{\log_2 7}+n^{\log_2 7}\int_{n_0}^n x^{1-\log_2 7}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^{\log_2 7}+n^{\log_2 7}\left(\left. \frac{x^{2-\log_2 7}}{2-\log_2 7}\right|_{n_0}^n\right)\right)\\ & =\Theta\left(n^{\log_2 7}+\frac{n^{\log_2 7}}{2-\log_2 7}\left(n^{2-\log_2 7}-n_0^{2-\log_2 7}\right)\right)\\ &=\Theta\left(n^{\log_2 7}+\frac{1}{2-\log_2 7}\left(n^{2}-n_0^{2-\log_2 7}n^{\log_2 7}\right)\right) \end{align*}$$

para $n_0$ suficientemente grande, temos

$$\begin{align*} T(n) =\Theta\left(n^{\log_2 7}+\frac{n^{2}}{2-\log_2 7}\right). \end{align*}$$

Como $\log_2 7 > 2$, então

$$\begin{align*} T(n) =\Theta\left(n^{\log_2 7}\right) = \Theta \left(n^{2,807\ldots}\right), \end{align*}$$

que é justamente a solução. Observamos que o algoritmo de Strassen é ligeiramente mais eficaz que o algoritmo clássico de multiplicação de matrizes, cuja complexidade é $T(n)=\Theta\left(n^3\right)$.

Ir para o índice

Quicksort não balanceado

Até agora, todos os exemplos expostos podiam ser resolvidos através do Teorema Mestre. A partir deste exemplo, nenhuma relação de recorrência poderá ser resolvida através dele.

Suponhamos que, ao utilizar o Quicksort, a divisão do problema gera dois subproblemas: um cujo tamanho é igual um quinto do original e o outro igual a quatro quintos do original. Se a cada chamada recursiva essa subdivisão se manter, então a relação de recorrência simplificada será

$$T(n)= \begin{cases} 1, &n=1\\ T(n/5) + T(4n/5)+ n, &n > 1\end{cases}$$

Tal relação de recorrência obviamente não pode ser resolvida pelo Teorema Mestre, muito menos pela árvore de recursão. Por outro lado, usar indução também não é uma boa ideia, pois para isso é necessário "chutar" a solução da recorrência e provar o "chute" via indução, ou seja, a indução não resolve a relação de recorrência. Felizmente, o método de Akra-Bazzi é capaz de resolver a recorrência e nos dar um resultado interessante.

Pelo método, temos que $k = 2$ (pois há dois termos envolvendo $T(n)$), $f(n) = n$, $a_1 = 1$, $b_1= \frac{1}{5}$, $a_2 = 1$, $b_2= \frac{4}{5}$. $f(n)$ obviamente satisfaz a condição de crescimento polinomial. Pela equação (4), temos

$$\begin{align*} &\sum_{i=1}^k a_ib_i^p = a_1b_1^p + a_2b_2^p = 1\\&\left(\frac{1}{5}\right)^p + \left(\frac{4}{5}\right)^p =1. \end{align*}$$

Essa equação não pode ser resolvida por métodos convencionais. Mas é fácil de ver que se $p = 1$, então ela é automaticamente satisfeita.

Portanto, pela equação (5)

$$\begin{align*} T(n)&=\Theta\left(n^p+n^p\int_{n_0}^n \frac{f(x)}{x^{p+1}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^1+n^1\int_{n_0}^n \frac{x}{x^{1+1}}\ dx\right)\\&=\Theta\left(n+n\int_{n_0}^n \frac{x}{x^{2}}\ dx\right), \end{align*}$$

que é igual exemplo do Merge Sort. Portanto,

$$T(n) = \Theta\left(n\ln n\right)$$

Ou seja, mesmo quando a divisão não é balanceada, ou seja, os subproblemas têm tamanhos desiguais, o Quicksort ainda tem complexidade $\Theta\left(n\ln n\right)$. De forma geral, quando o particionamento não é balanceado, temos

$$T(n)= \begin{cases} 1, &n=1\\ T(b_1n) + T(b_2n)+ n, &n > 1 \end{cases}$$

onde $b_1, b_2 \in (0,1)$ e $b_1 + b_ 2 = 1$. Pela equação (4), temos que $p$ sempre será 1, independente dos valores de $b_1$ e $b_2$, pois teremos

$$b_1^p+b_2^p = 1 \Leftrightarrow b_1+b_2 = 1, \text{ quando } p = 1.$$

Portanto, $T(n)$ sempre será $\Theta\left(n\ln n\right)$.

Ir para o índice

Exemplos Gerais

Vamos expor agora mais alguns exemplos de relações de recorrência que não podem ser resolvidas pelo Teorema Mestre.

Exemplo 1

Seja,

$$T(n)= \begin{cases} 1, & n=1\\ 3T(n/3) + n\ln n, & n > 1. \end{cases}$$

Observação: a escolha de $\ln n$ no lugar de $\log n$ não influencia no resultado final, já que diferem apenas por um fator constante. O uso de $\ln n$ tem como objetivo facilitar o cálculo das integrais.

Pelo método de Akra-Bazzi, temos que $k = 1$, $f(n) = n\ln n$, $a_1 = 3$, $b_1= \frac{1}{3}$. $f(n)$ obviamente satisfaz a condição de crescimento polinomial, pois $|f'(n)| = |\ln n + 1| = O(n)$. Pela equação (4), temos

$$\begin{align*} \sum_{i=1}^k a_ib_i^p = a_1b_1^p = 3\times \left(\frac{1}{3}\right)^p =1\\ \left(\frac{1}{3}\right)^p =\frac{1}{3}\\ p = 1 \end{align*}$$

Portanto, pela equação (5)

$$\begin{align*} T(n) &=\Theta\left(n^p+n^p\int_{n_0}^n \frac{f(x)}{x^{p+1}}\ dx\right)\\&=\Theta\left(n^1+n^1\int_{n_0}^n \frac{x\ln x}{x^{1+1}}\ dx\right)\\&=\Theta\left(n+n\int_{n_0}^n \frac{x\ln x}{x^{2}}\ dx\right)\\&=\Theta\left(n+n\int_{n_0}^n \frac{\ln x}{x}\ dx\right). \end{align*}$$

Pelo método da substituição das integrais, temos que

$$u = \ln x, \quad du = \frac{1}{x}dx,$$ $$u(n) = \ln n,\quad u(n_0) = \ln n_0.$$

Logo,

$$\begin{align*} T(n) &=\Theta\left(n+n\int_{\ln n_0}^{\ln n} u\ du\right)\\ &=\Theta\left(n+n\left(\left. \frac{u^2}{2}\right|_{\ln n_0}^{\ln n}\right)\right)\\ &=\Theta\left(n+\frac{n}{2}\left(\ln^2 n - \ln^2 n_0\right)\right), \end{align*}$$

escolhendo $n_0 = 1$, temos

$$T(n) =\Theta\left(n+\frac{1}{2}n\ln^2 n\right) = \Theta\left(n\ln^2 n\right).$$

Ir para o índice

Exemplo 2

Seja a relação de recorrência

$$T(n)= \begin{cases} 1, & n=1\\ T\left(\cfrac{n}{2}\right)+T\left(\cfrac{n}{4}\right)+T\left(\cfrac{n}{8}\right) + 1, &n > 1. \end{cases}$$

Pelo método de Akra-Bazzi, temos que $k = 3$, $f(n) = 1$, $a_1 = 1$, $b_1= \frac{1}{2}$, $a_2 = 1$, $b_2= \frac{1}{4}$, $a_3 = 1$ e $b_3= \dfrac{1}{8}$. $f(n)$ obviamente satisfaz a condição de crescimento polinomial, pois $|f'(n)| = 0 = O(1)$. Pela equação (4), temos

$$\begin{align*} &\sum_{i=1}^k a_ib_i^p = a_1b_1^p +a_2b_2^p+a_3b_3^p = 1\\&\left(\frac{1}{2}\right)^p +\left(\frac{1}{4}\right)^p+\left(\frac{1}{8}\right)^p =1. \end{align*}$$

Fazendo a mudança de variável $x = \left(\frac{1}{2}\right)^p$, temos

$$\begin{align*} x +x^2 + x^3=1\\ x^3+x^2+x-1 = 0, \end{align*}$$

que é uma equação completa de terceiro grau, cuja solução exata pode ser obtida pela fórmula de Tartaglia-Cardano. A solução é dada por $x = 0,54368901\ldots$ Logo,

$$\begin{align*} \left(\frac{1}{2}\right)^p = x\\ \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)^p = \log_2 x\\ p\log_2 \left(\frac{1}{2}\right) = \log_2 x\\ -p = \log_2 x\\ p = -\log_2 x\\ p = -\log_2 0,54368901\ldots\\ p = 0,8791\ldots \end{align*}$$

Por simplicidade, trabalharemos apenas com três casas decimais, ou seja, $p\cong 0,879$. Pela equação (5)

$$\begin{align*} T(n)&=\Theta\left(n^p+n^p\int_{n_0}^n \frac{f(x)}{x^{p+1}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^{0,879}+n^{0,879}\int_{n_0}^n \frac{1}{x^{0,879+1}}\ dx\right)\\ & =\Theta\left(n^{0,879}+n^{0,879}\int_{n_0}^n \frac{1}{x^{1,879}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^{0,879}+n^{0,879}\int_{n_0}^n x^{-1,879}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^{0,879}+n^{0,879} \left(\left. \frac{x^{-0,879}}{-0,879}\right|_{n_0}^n\right)\right)\\ &=\Theta\left(n^{0,879}-\frac{n^{0,879}}{0,879}\left(n^{-0,879}-n_0^{-0,879}\right)\right)\\ &=\Theta\left(n^{0,879}-\frac{1}{0,879}\left(1-n_0^{-0,879}n^{0,879}\right)\right), \end{align*}$$

para $n_0$ suficientemente grande, temos

$$\begin{equation} T(n) =\Theta\left(n^{0,879}-\frac{1}{0,879}\right) = \Theta\left(n^{0,879\ldots}\right). \end{equation}$$

Ir para o índice

Exemplo 3

Seja,

$$T(n)= \begin{cases} 15, &n=1\\ T(n/3) + T(n/2) + n, &n > 1. \end{cases}$$

Pelo método de Akra-Bazzi, temos que $k = 2$, $f(n) = n$, $a_1 = 1$, $b_1= \frac{1}{3}$, $a_2 = 1$, $b_2= \frac{1}{2}$. $f(n)$ satisfaz a condição de crescimento polinomial, pois $|f'(n)| = 1 = O(1)$. Pela equação (4), temos

$$\begin{align*} \sum_{i=1}^k a_ib_i^p = a_1b_1^p +a_2b_2^p = 1\\ \left(\frac{1}{3}\right)^p +\left(\frac{1}{2}\right)^p =1.\end{align*}$$

Resolvendo numericamente, obtemos $p = 0,787\ldots$. Pela equação (5),

$$\begin{align*} T(n)&=\Theta\left(n^p+n^p\int_{n_0}^n \frac{f(x)}{x^{p+1}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^{0,787}+n^{0,787}\int_{n_0}^n \frac{x}{x^{0,787+1}}\ dx\right)\\ & =\Theta\left(n^{0,787}+n^{0,787}\int_{n_0}^n \frac{x}{x^{1,787}}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^{0,787}+n^{0,787}\int_{n_0}^n x^{-0,787}\ dx\right)\\ &=\Theta\left(n^{0,787}+\frac{n^{0,787}}{1-0,787} \left(\left. x^{1-0,787}\right|_{n_0}^n\right)\right)\\ &=\Theta\left(n^{0,787}+\frac{n^{0,787}}{1-0,787} \left(n^{1-0,787} - n_0^{1-0,787}\right)\right)\\&=\Theta\left(n^{0,787}+\frac{1}{1-0,787} \left(n - n_0^{1-0,787}n^{0,787}\right)\right), \end{align*}$$

escolhendo $n_0 = 0$, temos

$$T(n) =\Theta\left(n^{0,787}+\frac{n}{1-0,787}\right) = \Theta(n).$$

Ir para o índice

Conclusão

Conforme o texto apresenta, o método de Akra-Bazzi certamente é muito poderoso ao resolver relações de recorrência, sendo superior ao Teorema Mestre. As principais "dificuldades" encontradas em seu emprego são justamente a necessidade do cálculo de integrais e encontrar a constante $p$, utilizada pela fórmula do método.

É claro, tais dificuldades podem ser superadas facilmente, pois, para determinar $p$, pode-se optar pelo uso de algum método numérico ou de um sistema de computação algébrica. Por outro lado, no cálculo da integral, pode-se também utilizar um sistema de computação algébrica.

O método de Akra-Bazzi também pode ser visto como uma das inúmeras justificativas para o estudo de Cálculo Diferencial e Integral e Cálculo Numérico em cursos superiores de computação. Apesar do método consistir basicamente no emprego de fórmulas matemáticas que podem ser resolvidas facilmente num computador, é importante ter consciência de onde vem os resultados obtidos ao empregar o método.

Por fim, é importante lembrar que tal método não é capaz de resolver recorrências do tipo

$$T(n) = \sum_{i=0}^{k} a_iT(n - b_i) + f(n),$$

que surgem, por exemplo, ao analisar a versão recursiva do algoritmo da sequência de Fibonacci ou a versão recursiva do fatorial. Para tais casos, outros método devem ser empregados.

Ir para o índice

Leia também

Aproveite e leia também os seguintes artigos

• Teorema Mestre e Exemplos Resolvidos
• Exercícios Resolvidos sobre o Teorema Mestre
• Teorema mestre com condições relaxadas

Download em PDF

Se você tiver algum problema para visualizar as fórmulas matemáticas, você pode fazer o download da versão em PDF deste artigo neste link: Artigo em PDF.

Ir para o índice

Apêndice: Mudança de Base de Logaritmo

Seja $\log_b a$, então

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}.$$

Exemplo:

$$\ln n = \log_e n = \frac{\log_{10} n}{\log_{10} e}= \frac{\log_2 n}{\log_2 e}=\ldots,$$

onde $e$ é o número de Euler/Neper ($e = 2,71828182846\ldots$)

Observação: estamos assumindo que $a$, $b$ e $c$ satisfazem as condições da definição dos logaritmos. Consulte um livro para maiores informações.

Ir para o índice

Referências

• [1] CORMEN, T. H. et al. Algoritmos: teoria e prática. 3 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2012.
• [2] AKRA, M., BAZZI, L. (1998). On the solution of linear recurrence equations. Computational Optimization and Applications, 10(2), 195-210.