Algoritmo da Equação do Quarto Grau

Apesar de ser pouco conhecida, a equação do quarto grau possui uma fórmula para obtenção das raízes a partir de seus coeficientes.

Na prática, existe mais de uma, contudo, neste artigo, deduziremos a fórmula de Ferrari, um matemático italiano a quem é atribuído o mérito de demonstrar que é possível solucionar equações do quarto grau utilizando apenas operações algébricas [1].

Além de deduzir a fórmula, também a disponibilizarei codificada em Java, C e em JavaScript.

Veja também: Calculadora de Equações do Quarto Grau

Índice

• A Fórmula de Ferrari
  • Equação Reduzida do Quarto Grau
  • Deduzindo a Fórmula de Ferrari
    • Provando que sempre haverá um u > 0
• Casos especiais
  • Termo independente igual a zero
  • Equação biquadrática
• Exemplo de aplicação da fórmula de Ferrari
• Códigos
• Considerações finais
• Referências

A Fórmula de Ferrari

Uma equação do quarto grau é uma equação que possui a seguinte forma

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\quad a\neq 0$$

onde $a,b,c,d,e\in\mathbb{R}$. Dividindo a equação por $a$, obtemos

$$x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$$

Os coeficientes da equação anterior são

$$\begin{align*}A&=\frac{b}{a}\\B&=\frac{c}{a}\\C&=\frac{d}{a}\\D&=\frac{e}{a}\end{align*}$$

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Equação Reduzida do Quarto Grau

Vamos fazer a mudança de variável $x=y-\cfrac{A}{4}$ para eliminar o termo de terceiro grau

$$\begin{align*}&\left(y-\frac{A}{4}\right)^4+ A\left(y-\frac{A}{4}\right)^3+B \left(y-\frac{A}{4}\right)^2+C \left(y-\frac{A}{4}\right)+D=0\\&y^4+\left(B-\frac{3}{8}A^2\right)y^2+ \left(\frac{1}{8}A^3-\frac{1}{2}AB+C\right)y+ \left(-\frac{3}{256}A^4+\frac{1}{16}A^2B-\frac{1}{4}AC+D\right)=0\end{align*}$$

Por simplicidade, vamos considerar as seguintes constantes

$$\begin{align*}p&=B-\frac{3}{8}A^2\\q&=\frac{1}{8}A^3-\frac{1}{2}AB+C\\r&=-\frac{3}{256}A^4+\frac{1}{16}A^2B-\frac{1}{4}AC+D\end{align*}$$

Dessa forma, a equação sem o termo cúbico será

$$y^4+py^2+qy+r=0$$

que é a forma reduzida da equação do quarto grau.

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Deduzindo a Fórmula de Ferrari

A ideia da fórmula de Ferrari é transformar a equação de tal forma que seja possível fatorá-la e resolvê-la por meio de equações do segundo grau [1].

Para isso, vamos inicialmente isolar o termo $qy$ na equação reduzida

$$y^4+py^2+r=-qy$$

Adicionamos $uy^2+w$ a ambos os membros [1]

$$y^4+(p+u)y^2+r+w=uy^2-qy+w\quad(1)$$

Para tornar ambos os membros fatoráveis, podemos transformá-los em quadrados perfeitos [1]. Para isso, os discriminantes dos polinômios de ambos os membros devem ser iguais a zero

$$\begin{cases}(p+u)^2-4(r+w)=0&\mbox{(2)}\\q^2-4uw=0&\mbox{(3)}\end{cases}$$

De (3), temos

$$\begin{align*}4uw&=q^2\\w&=\frac{q^2}{4u}\end{align*}$$

Vamos substituir esse valor em (2) e desenvolver a expressão

$$\begin{align*}&(p+u)^2-4\left(r+\frac{q^2}{4u}\right)=0\\&p^2+2pu+u^2-4r-\frac{q^2}{u}=0\\&p^2u+2pu^2+u^3-4ru-q^2=0\\&u^3+2pu^2+(p^2-4r)u-q^2=0\quad(4)\end{align*}$$

A equação (4) é uma equação auxiliar do terceiro grau na variável $u$, que pode ser resolvida através da fórmula de Tartaglia-Cardano. Toda equação do terceiro grau com coeficientes reais tem três raízes, sendo que pelo menos uma delas é real.

Em particular, a equação (4) sempre vai possuir pelo menos uma raiz real positiva $u_{+}$. É justamente essa raiz que utilizaremos. Posteriormente, demonstrarei essa afirmação.

Após calcular $u_{+}$, podemos finalmente transformar os dois membros de (1) em quadrados perfeitos

$$\begin{align*}&y^4+(p+u_{+})y^2+r+\frac{q^2}{4u_{+}} =u_{+}y^2-qy+\frac{q^2}{4u_{+}}\\&\left(y^2+\frac{p+u_{+}}{2}\right)^2=\left(\sqrt{u_{+}}y-\frac{q}{2\sqrt{u_{+}}}\right)^2\\&y^2+\frac{p+u_{+}}{2}=\pm\left(\sqrt{u_{+}}y-\frac{q}{2\sqrt{u_{+}}}\right)\end{align*}$$

Da última expressão, segue que

$$\begin{cases}y^2-\sqrt{u_{+}}y+\frac{q}{2\sqrt{u_{+}}}+\frac{p+u_{+}}{2} =0\\y^2+\sqrt{u_{+}}y-\frac{q}{2\sqrt{u_{+}}}+\frac{p+u_{+}}{2}=0\end{cases}$$

As soluções da equação reduzida do quarto grau são as soluções das equações do segundo grau anteriores.

$$\begin{cases}y_{1,2}=\frac{1}{2}\sqrt{u_{+}}\pm\frac{1}{2}\sqrt{-u_{+}-2p-\frac{2q}{\sqrt{u_{+}}}}\\y_{3,4}=-\frac{1}{2}\sqrt{u_{+}}\pm\frac{1}{2}\sqrt{-u_{+}-2p+\frac{2q}{\sqrt{u_{+}}}}\end{cases}$$

Para obter as raízes da equação original em $x$, basta subtrair $A/4$ das raízes da equação em $y$.

$$\begin{cases}x_{1,2}=-\frac{A}{4}+\frac{1}{2}\sqrt{u_{+}}\pm\frac{1}{2}\sqrt{-u_{+}-2p-\frac{2q}{\sqrt{u_{+}}}}\\x_{3,4}=-\frac{A}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{u_{+}}\pm\frac{1}{2}\sqrt{-u_{+}-2p+\frac{2q}{\sqrt{u_{+}}}}\end{cases}$$

Isso conclui a dedução da fórmula.

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Provando que sempre haverá um u > 0

Observe na equação auxiliar (4) que o termo independente $-q^2$ sempre será negativo. Vamos assumir que $q\ne 0$, pois, quando $q=0$, a equação é biquadrática e pode ser resolvida através da fórmula de Bhaskara fazendo a substituição $z=y^2$, como veremos depois.

Pelas Relações de Girard da equação do terceiro grau [3], o termo independente é igual ao oposto do produto das raízes da equação. No caso da equação (4), temos

$$\begin{align*}-q^2&=-u_1u_2u_3\\q^2&=u_1u_2u_3\end{align*}$$

Portanto, o produto das raízes de (4) é positivo.

Sabe-se que, numa equação do terceiro grau com coeficientes reais, existem três situações possíveis [2]:

1. As três raízes são reais e distintas: nesse caso, como o produto das raízes é positivo, então só existem duas possibilidades: (1) uma raiz é positiva e as outras duas são negativas (2) as três raízes são positivas;
2. Uma raiz é real e as outras duas são complexas conjugadas: como o produto de dois números complexos conjugados é um número real positivo, então a raiz real deve ser obrigatoriamente positiva, senão o produto final será negativo;
3. Três raízes reais, sendo duas iguais: como o produto das duas raízes iguais é positivo, então a outra deve ser positiva.

Ou seja, sempre vamos ter uma raiz real positiva em qualquer um dos casos.

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Casos especiais

Existem dois casos especiais de equações do quarto grau nos quais a fórmula de Ferrari é desnecessária.

Termo independente igual a zero

Se o termo independente da equação for zero, então uma das raízes é zero

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx=0$$

A equação pode ser resolvida pela fórmula de Tartaglia-Cardano se a fatorarmos

$$x(ax^3+bx^2+cx+d)=0$$

Segue que $x_1=0$ e as outras raízes são soluções da equação do terceiro grau $ax^3+bx^2+cx+d=0$.

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Equação biquadrática

Uma equação do quarto grau é biquadrática quando possui a seguinte forma

$$ax^4+bx^2+c=0$$

Isto é, os coeficientes dos termos de primeiro e terceiro grau são nulos.

Se fizermos a substituição $y=x^2$, obteremos a seguinte equação do segundo grau em $y$

$$ay^2+by+c=0$$

As raízes da equação biquadrática são obtidas extraindo a raiz quadrada das raízes da equação do segundo grau anterior.

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Exemplo de aplicação da fórmula de Ferrari

Vamos resolver a equação a seguir utilizando a fórmula de Ferrari

$$x^4-5x^3+5x^2+5x-6=0$$

Para essa equação, temos

$$\begin{align*}A&=-5\\B&=5\\C&=5\\D&=-6\end{align*}$$

Os coeficientes da equação reduzida são (utilizarei pontos no lugar das vírgulas porque estou utilizando o LaTeX neste artigo)

$$\begin{align*}p&=-4.375\\q&=1.875\\r&=0.73828125\end{align*}$$

Por sua vez, a equação reduzida é

$$y^4-4.375y^2+1.875y+0.73828125=0$$

Através dos coeficientes da equação reduzida, calculamos os coeficientes da equação auxiliar do terceiro grau

$$u^3-8.75u^2+16.1875u-3.515625=0$$

As três raízes dessa equação são reais e positivas $u=\{6.25,0.25,2.25\}$. Você pode conferir as raízes na calculadora de equações do terceiro grau do blog.

Qualquer uma das três raízes pode ser utilizada, uma vez que são todas positivas. Vamos utilizar a primeira $u_{+}=6.25$. Com isso, o problema de resolver a equação reduzida se resume a encontrar as raízes das seguintes equações do segundo grau

$$\begin{cases}y^2-2.5y+1.3125=0\\y^2+2.5y+0.5625=0\end{cases}$$

As raízes da primeira equação são $y_1=1.75$ e $y_2=0.75$. Já as raízes da segunda equação são $y_3=-0.25$ e $y_4=-2.25$.

Finalmente, basta subtrair $A/4=-5/4=-1.25$ das raízes da equação reduzida para obtermos as raízes da equação original

$$\begin{cases}x_1=1.75-(-1.25)=3\\x_2=0.75-(-1.25)=2\\x_3=-0.25-(-1.25)=1\\x_4=-2.25-(-1.25)=-1\end{cases}$$

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Códigos

Você pode obter os códigos (Java, C e JavaScript) com a fórmula de Ferrari nos links abaixo

• GitHub
• Google Drive

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Considerações finais

A fórmula de Ferrari é complexa. Você precisa passar por várias etapas para conseguir as soluções de uma equação do quarto grau, incluindo resolver uma equação do terceiro grau, que também é difícil de solucionar.

Uma das consequências é a propagação de erros de arredondamento. Isto é, o erro da solução da equação do terceiro grau se propaga nas soluções da equação do quarto grau.

Para resolver isso, você pode tentar outra fórmula ou modificar os programas que implementam a fórmula de Ferrari para amenizar a propagação dos erros.

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Referências

• [1] ANDREATINI, A. Ludovico Ferrari: A Solução das Equações 4º grau. Acesso em 2 de junho de 2018.
• [2] SODRÉ, U. ENSINO MÉDIO :: Raizes de equação do terceiro grau. Acesso em 2 de junho de 2018.
• [3] IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar: Complexos, Polinômios, Equações. Vol. 6. 2 ed. São Paulo: Atual, 1977.