Nesta postagem, você encontrará a resolução de 16 questões de matemática do POSCOMP 2002, além do gabarito das outras quatro questões que não foram resolvidas.

Índice
- Questão 01
- Questão 02
- Questão 03
- Questão 04
- Questão 05
- Questão 07
- Questão 08
- Questão 09
- Questão 10
- Questão 12
- Questão 13
- Questão 14
- Questão 15
- Questão 17
- Questão 18
- Questão 19
- Outras questões
- Referências
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Questão 01
Pode-se afirmar que gráfico da função y=2+1x−1 é o gráfico da função y=1x
- (A) transladado uma unidade para a direita e duas unidades para cima;
- (B) transladado uma unidade para a direita e duas unidades para baixo;
- (C) transladado uma unidade para a esquerda e duas unidades para cima;
- (D) transladado uma unidade para a esquerda e duas unidades para baixo;
- (E) nenhuma das anteriores.
Resolução
É possível transformar a função f(x)=1x em g(x)=2+1x−1 somando 2 à f(x) e subtraindo 1 de x.
Ao somar o valor 2, a função é deslocada duas unidades para cima.

Subtrair 1 de x é o mesmo que realizar a transformação x=x′−1. Isolando a coordenada x′, temos
x′=x+1
Isso significa que f(x) foi deslocada para direita

Logo, a opção correta é a A.
Questão 02
A derivada da função f(x)=xx é igual a
- (A) xxx−1
- (B) xx
- (C) xxlnx
- (D) xx(lnx+1)
- (E) xx(lnx+x)
Resolução
Em síntese, a questão deseja dfdx. Inicialmente, vamos calcular o logaritmo natural de f(x)
lnf(x)=lnxxlnf(x)=xlnx
Agora, vamos derivar ambos os membros da expressão anterior
ddxlnf(x)=ddx(xlnx)1fdfdx=(x1x+lnx)dfdx=(1+lnx)f
Como f(x)=xx, então vamos substituir o f no lado direito da equação
dfdx=xx(1+lnx)
Portanto, a alternativa correta é a D.
Questão 03
Seja n um número inteiro positivo. Considere a função f definida recursivamente por
f(n)={0se n=1f(⌊n2⌋)+1se n>1
onde ⌊n2⌋ é o maior inteiro menor ou igual a k. O valor de f(25) é igual a
- (A) 5
- (B) 4
- (C) 6
- (D) 3
- (E) 2
Resolução
Indo direto ao ponto, temos
f(25)=f(⌊252⌋)+1=f(12)+1=f(⌊122⌋)+1+1=f(6)+1+1=f(⌊62⌋)+1+1+1=f(3)+1+1+1=f(⌊32⌋)+1+1+1+1=f(1)+1+1+1+1=0+1+1+1+1=4
Ou seja, a resposta certa é B.
Questão 04
Para cada n∈N seja Dn=(0,1/n), onde (0,1/n) representa o intervalo aberto de extremos 0 e 1/n. O conjunto diferença D3−D20 é igual a:
- (A) D3
- (B) D20
- (C) (1/20,1/3)
- (D) [1/20,1/3)
- (E) D20∪D3
Resolução
Os conjuntos D3 e D20 são
D3=(0,1/3)=(0,0.333…)D20=(0,1/20)=(0,0.05)
Ou ainda
D3={x|0<x<1/3}D20={x|0<x<1/20}
A diferença D3−D20 contém todos os elementos de D3 que não são elementos de D20. Ou seja, os elementos do conjunto D3−D20 são todos os elementos x∈D3 tais que x≥1/20, logo
D3−D20={x|1/20≤x<1/3}=[1/20,1/3)
Portanto, a alternativa D é a correta.
Questão 05
Todos os convidados presentes num jantar tomam chá ou café. Treze convidados bebem café, dez bebem chá e 4 bebem chá e café. Quantas pessoas tem nesse jantar?
- (A) 19
- (B) 27
- (C) 23
- (D) 15
- (E) 10
Resolução
O problema é bem simples. Primeiro, vamos calcular quantas pessoas bebem apenas café e quantas bebem apenas chá
- Pessoas que bebem apenas café: 13−4=9;
- Pessoas que bebem apenas chá: 10−4=6.
Fizemos isso porque dentro do conjunto de pessoas que bebem café existem também pessoas que bebem chá. Por outro lado, dentro do conjunto de pessoas que bebem chá também existem pessoas que bebem café. Observe o diagrama a seguir

Agora, basta somar o número de pessoas que só tomam chá, o número de pessoas que só tomam café e o número de pessoas que tomam chá e café:
9+6+4=19
Portanto, a alternativa correta é a A.
Questão 07
Seja f:R→R derivável. Se existem a,b∈R tal que f(a)f(b)<0 e f′(x)≠0 para todo x∈(a,b), podemos afirmar que no intervalo (a,b) a equação f(x)=0 tem
- (A) duas raízes reais
- (B) nenhuma raiz real
- (C) uma única raiz real
- (D) uma raiz imaginária
- (E) somente raízes imaginárias
Resolução
Como f é derivável em R, então também é contínua em R. A expressãof(a).f(b)<0 indica que há inversão de sinal em (a,b) e, como f é contínua, deve haver pelo menos uma raiz real no intervalo (a,b).
Por sua vez, a expressão f′(x)≠0 indica que não há pontos extremos (máximos ou mínimos) em (a,b), portanto apenas uma raiz real é possível em (a,b). Graficamente, teríamos algo do tipo

Portanto, a alternativa correta é a C.
Questão 08
Seja g:R→R contínua e f(x)=g(x)−x. Definimos a sequência (xn) da seguinte maneira
{x0=1xn=g(xn−1)para n≥1
Se limn→∞xn=L podemos afirmar que
- (A) L é uma raiz e f(x)=0
- (B) L é uma raiz e g(x)=0
- (C) g(L)=1
- (D) f(L)=L
- (E) nenhuma das anteriores
Resolução
Primeiramente, substituímos x por xn em f(x)
f(xn)=g(xn)−xn
Agora tomamos o limite n→∞
limn→∞f(xn)=limn→∞[g(xn)−xn]f(limn→∞xn)=g(limn→∞xn)−limn→∞xn
Como limn→∞xn=L, então
f(L)=g(limn→∞xn)−L
Numa sequência, limn→∞an=limn→∞an−1. Utilizando essa propriedade na definição da sequência xn, temos
limn→∞xn=limn→∞g(xn−1)limn→∞xn=g(limn→∞xn−1)limn→∞xn=g(limn→∞xn)L=g(limn→∞xn)
Substituindo em f(L), temos
f(L)=L−L=0
Logo, L é uma raiz de f(x) e a alternativa correta é a A.
Questão 09
Assinale a proposição verdadeira
- (A) Se x é um número real tal que x2≤4 então x≤2 e x≤−2
- (B) Se x e y são números reais tais que x<y então x2<y2
- (C) Se x+y é um número racional então x e y são números racionais
- (D) Se x<−4 ou x>1 então 2x+3x−1>1
- (E) nenhum das anteriores
Resolução
A alternativa A está incorreta, pois o conjunto solução de x2≤4 é [−2,2] ou −2≤x≤2.
A alternativa B está incorreta. Se tomarmos x=−3 e y=1, por exemplo, teremos −3<1, que é verdade, mas isso implicaria em 9<1, que é falso.
A alternativa C está incorreta. Se tomarmos x=1+√2 e x=1−√2, então x+y=2 é um número racional, entretanto x e y são irracionais.
A alternativa D está correta. Para demonstrar isso, vamos resolver a inequação da alternativa
Quando x−1>0, então
2x+3x−1>12x+3>x−1x>−4
Como x−1>0 é equivalente a x>1, então a solução será x>1 e x>−4, ou simplesmente x>1.
Quando x−1<0, então
2x+3x−1>12x+3<x−1x<−4
Como x−1<0 é equivalente a x<1, então a solução será x<1 e x<−4, ou simplesmente x<−4. A inversão do sentido da desigualdade ocorreu porque multiplicamos ambos os membros da inequação por x−1, que é negativo.
Portanto, a solução é x>1 ou x<−4. Sempre que x satisfizer essas condições, a inequação será verdadeira. Com isso, concluímos a demonstração de que a alternativa D é a correta.
Questão 10
Assinale o argumento válido, onde S1
, S2
indicam premissas e S
a conclusão:
- (A)
S1
: Se o cavalo estiver cansado então ele perderá a corridaS2
: O cavalo estava descansadoS
: O cavalo ganhou a corrida
- (B)
S1
: Se o cavalo estiver cansado então ele perderá a corridaS2
: O cavalo ganhou a corridaS
: O cavalo estava descansado
- (C)
S1
: Se o cavalo estiver cansado então ele perderá a corridaS2
: O cavalo perdeu a corridaS
: O cavalo estava cansado
- (D)
S1
: Se o cavalo estiver cansado então ele perderá a corridaS2
: O cavalo estava descansadoS
: O cavalo perdeu a corrida
- (E) nenhuma das anteriores
Resolução
Observe que a premissa S1
é a mesma em A, B, C e D. Vamos considerar as seguintes proposições
p: cavalo cansado
q: ganhar a corrida
Com isso, S1
será p→¬q
. Para não estender o texto, analisaremos apenas a alternativa B, que é a correta.
Em B, a premissa S2
é q
(ganhar a corrida). A conclusão S
é ¬p
(cavalo descansado). Logo, temos que mostrar que a expressão S1∧S2→S
é sempre verdadeira.
S1 ∧ S2 → S = (p → ¬q) ∧ q → ¬p S1 ∧ S2 → S = (¬p ∨ ¬q) ∧ q → ¬p S1 ∧ S2 → S = (¬p ∧ q) ∨ (¬q ∧ q) → ¬p S1 ∧ S2 → S = (¬p ∧ q) ∨ FALSO → ¬p S1 ∧ S2 → S = (¬p ∧ q) → ¬p S1 ∧ S2 → S = ¬(¬p ∧ q) ∨ ¬p S1 ∧ S2 → S = p ∨ ¬q ∨ ¬p S1 ∧ S2 → S = p ∨ ¬p ∨ ¬q S1 ∧ S2 → S = VERDADEIRO ∨ ¬q S1 ∧ S2 → S = VERDADEIRO
Também podemos utilizar uma tabela da verdade:
p |
q |
S1 (p → ¬q) |
S2 (q) |
S1 ∧ S2 |
S (¬p) |
S1 ∧ S2 → S |
---|---|---|---|---|---|---|
F | F | V | F | F | V | V |
F | V | V | V | V | V | V |
V | F | V | F | F | F | V |
V | V | F | V | F | F | V |
Com isso, concluímos a demonstração de que B é a alternativa correta.
Questão 12
Dado um vetor u∈R2, u=(−3,4), vamos denotar por v o vetor de R2 que tem tamanho 1 e é ortogonal à u. Então v por ser dado por
- (A) (−4/5,3/5)
- (B) (3/5,4/5)
- (C) (−4/5,−3/5)
- (D) (−4/5,1/5)
- (E) (−4/5,2/5)
Resolução
Suponhamos que v=(x,y). Para que v seja ortogonal a u, o produto escalar entre os dois vetores deve ser zero
v⋅u=0(x,y)⋅(−3,4)=0−3x+4y=0
A equação anterior possui um conjunto infinito de soluções. Felizmente, a questão quer que v tenha tamanho 1.
√x2+y2=1x2+y2=1
Isolando x na equação −3x+4y=0, temos
x=43y
Consequentemente,
(43y)2+y2=1169y2+99y2=1259y2=1y2=925y=±35
Já a componente x é dada por
x=±43.35=±45
Ou seja, existem dois vetores que satisfazem as condições da questão
v1=(45,35);v2=(−45,−35)
Portanto, a alternativa correta é a C.
Questão 13

Se O=(0,0,0); A=(2,4,1); B=(3,1,1) e C=(1,3,5) então o volume do sólido acima é
- (A) 30
- (B) 35
- (C) 35/2
- (D) 44
- (E) 21
Resolução
O sólido da questão é um paralelepípedo. Podemos calcular o seu volume calculando o módulo do determinante da matriz composta pelos vetores A, B e C, que definem o sólido [1]. Ou seja,
V=|det[241311135]|
O determinante pode ser calculado pela regra de Sarrus (ou pelo teorema de Laplace)

V=|−1−6−60+10+4+9|=|−44|=44
Portanto, a alternativa correta é a D.
Questão 14
A velocidade de um ponto em movimento é dada pela equação
v(t)=te−0.01t
O espaço percorrido desde o instante que o ponto começou a se mover até a sua parada total é
- (A) 104 m
- (B) 103e−0.01 m
- (C) 102e−1 m
- (D) (e−100−1) m
- (E) 102 m
Resolução
Analisando a função v(t), vemos que ela se anula quando t=0 e quando t→∞, que são, respectivamente, o instante de início e o de parada do movimento.
Portanto, o espaço percorrido será
S=∫∞0v(t)dt=∫∞0te−0.01tdt
Vamos calcular a integral por partes
u=tdu=dtdv=e−0.01tdtv=∫e−0.01tdt=−100e−0.01t
∫te−0.01tdt==−100te−0.01t−∫−100e−0.01tdt=−100te−0.01t−∫−100e−0.01tdt=−100te−0.01t+100∫e−0.01tdt=−100te−0.01t+100×(−100)e−0.01t=−e−0.01t(100t+10000)
Finalmente, calculamos S
S=−e−0.01t(100t+10000)|∞0=limt→∞[−e−0.01t(100t+10000)]−[−e−0.01×0(100×0+10000)]=0+e0×10000=104m
Logo, a alternativa A é a correta.
Questão 15
Se limn→∞1n2+2n2+…+n−1n2=L então
- (A) L=1
- (B) L=0
- (C) L=1/2
- (D) L=∞
- (E) L=2
Resolução
Inicialmente, vamos simplificar a expressão entre parênteses
1n2+2n2+…+n−1n2==1n2(1+2+…+n−1)=1n2n−1∑i=11=1n2n(n−1)2=n2−n2n2=n22n2−n2n2=12−12n
Tomando o limite n→∞, temos
limn→∞(12−12n)=12=L
Portanto, a alternativa C é a correta.
Questão 17
A média aritmética de uma lista de 50 números é 50. Se dois desses números, 51 e 97, forem suprimidos dessa lista a média dos restantes será
- (A) 50
- (B) 49
- (C) 51
- (D) 47
- (E) 40
Resolução
A média aritmética, m, de uma lista de números é igual à soma dos números, S, dividida pela quantidade de números, n
m=Sn
Para a lista do enunciado, temos
50=S50⇒S=2500
Se removermos os 51 e o 97 da lista (dois números), a média será
2500−51−9750−2=235248=49
Portanto, a alternativa correta é a B.
Questão 18
O determinante da matriz dada abaixo é
[279−1128310−10430200−1030000]
- (A) 96
- (B) -96
- (C) 86
- (D) -86
- (E) 46
Resolução
Se trocarmos a primeira coluna e a última de posição, o determinante da matriz terá o sinal invertido, porém a matriz se tornará triangular
[179−12083120043−1000−1200003]
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Com isso, o determinante será
D=−[1×8×4×(−1)×3]=96
O sinal negativo é necessário porque o sinal do determinante foi invertido quando fizemos a troca de colunas.
Portanto, a alternativa correta é a A.
Questão 19
Numa prova de múltipla escolha com 10 questões e 4 alternativas qual a chance (probabilidade) de um aluno apenas "chutando as respostas" conseguir "gabaritar" a prova (acertar todas as questões).
- (A) 1/104
- (B) 1/420
- (C) 1/220
- (D) 1/108
- (E) 1/415
Resolução
A probabilidade de acertar uma questão é de 1/4. A probabilidade de acertar 10 questões será
P=(14)10=(122)10=122×10=1220
Na última etapa, foi utilizada a propriedade da potência de potência.
A alternativa correta é a C.
Outras questões
Deixo aqui o gabarito das questões que não foram resolvidas nesta postagem
- 06 - E
- 11 - E
- 16 - C
- 20 - C
Referências
- [1] DANTE, L. R. Matemática, Volume único. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2005.
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