Questões Resolvidas do POSCOMP 2018 de Matemática (Parte 1)

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Nesta postagem, você encontrará a resolução das questões 1, 3, 4 e 6 de matemática do POSCOMP 2018.

Questões Resolvidas do POSCOMP 2018 de Matemática

Índice

Para mais questões resolvidas, acesse a página POSCOMP.

Questão 01

Para quais valores de a, b, c, d, e, f a matriz J=[3000a2deb010c0f0] é diagonalizável?

  • (A) Não pode ser diagonalizável.
  • (B) Apenas para números inteiros.
  • (C) Somente para números positivos.
  • (D) Para quaisquer valores.
  • (E) Somente para valores nulos.

Resolução

Uma condição suficiente para que uma matriz de ordem n seja diagonalizável é que ela possua n autovalores distintos.

Os autovalores são os zeros do polinômio característico da matriz. Para a matriz J, teremos

p(λ)=det(JλI)=det[3λ000a2λdeb01λ0c0fλ]=λ(3λ)(2λ)(1λ)

Os zeros de p(λ) são 0, 1, 2, 3, que, consequentemente, são os autovalores de J. Uma vez que os autovalores são distintos e não dependem de a, b, c, d, e ou f, então a matriz é diagonalizável para qualquer valor real que essas variáveis assumam.

Portanto, a alternativa correta é a D.

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Questão 03

O vetor diretor de uma reta r é v=(1,2) e passa pelo ponto P(5,5). A outra reta s tem pendente m=2 e passa pelo ponto N(0,5). Em relação à disposição das retas, elas:

  • (A) São perpendiculares.
  • (B) São paralelas.
  • (C) Se cruzam.
  • (D) São tangentes.
  • (E) Não são retas.

Resolução

Através do vetor v, calculamos a inclinação da reta r

mr=2010=2

Basicamente, fizemos o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pela origem e pelo ponto (1,2).

Observe que o valor obtido, mr=2, é igual à inclinação da reta s, que foi chamada de pendente na questão (não me pergunte o porquê).

Quando os coeficientes angulares de duas retas são iguais, então elas são paralelas.

Consequentemente, a alternativa B é a correta.

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Questão 04

Dados os vetores u=(5,4) e v=(3,2), calcule o produto escalar e o ângulo que elas formam entre si:

  • (A) 7; 107°
  • (B) 7; -107°
  • (C) -7; 72°
  • (D) 7; 72°
  • (E) -7; 107°

Resolução

Primeiramente, calculamos o produto escalar

uv=5×(3)+4×2=7

Para calcular o ângulo entre os dois vetores, utilizaremos a fórmula do produto escalar

uv=|u||v|cosθ

θ é o ângulo entre os dois vetores. Isolando cosθ, teremos

cosθ=uv|u||v|=752+42(3)2+22=74113=7533

No POSCOMP não é permitido o uso de calculadoras, logo calcular o valor exato do ângulo na prova é infactível (é necessário calcular arco cosseno).

Vamos utilizar a eliminação de alternativas. Como o produto escalar é igual a -7, as alternativas A, B e D estão incorretas.

Observe que cosθ é negativo, portanto o ângulo deve estar no segundo ou no terceiro quadrante. Uma vez que o ângulo 72° está no primeiro quadrante, então a alternativa C está incorreta.

Portanto, a alternativa correta é a E.

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Questão 06

Determine os valores de a e b para que a função abaixo seja contínua em todo o seu domínio:

f(x)={3.sen(x)se x<π2a.sen(x)+bse π2xπ2cos(x)se x>π2

  • (A) a=32;b=32
  • (B) a=32;b=32
  • (C) a=32;b=32
  • (D) a=32;b=32
  • (E) a=23;b=32

Resolução

Para que a função seja contínua, precisamos que a função 3.sen(x) seja igual a a.sen(x)+b no ponto x=π2 e que a função cos(x) seja igual a a.sen(x)+b no ponto x=π2.

Para o ponto x=π2, temos

3.sen(π2)=a.sen(π2)+b3.(1)=a.(1)+b3=a+ba+b=3

Para o ponto x=π2, temos

cos(π2)=a.sen(π2)+b0=a+ba+b=0

Com isso, temos o sistema

{a+b=3a+b=0

Da segunda equação, segue que a=b. Substituindo na primeira equação, temos

(b)+b=32b=3b=32

Consequentemente, a=32. Portanto, a alternativa correta é a B.

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Referências

  • [1] DANTE, L. R. Matemática, Volume único. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2005.

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