Nesta postagem, você encontrará a resolução das questões 1, 3, 4 e 6 de matemática do POSCOMP 2018.

Índice
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Questão 01
Para quais valores de a, b, c, d, e, f a matriz J=[3000a2deb010c0f0] é diagonalizável?
- (A) Não pode ser diagonalizável.
- (B) Apenas para números inteiros.
- (C) Somente para números positivos.
- (D) Para quaisquer valores.
- (E) Somente para valores nulos.
Resolução
Uma condição suficiente para que uma matriz de ordem n seja diagonalizável é que ela possua n autovalores distintos.
Os autovalores são os zeros do polinômio característico da matriz. Para a matriz J, teremos
p(λ)=det(J−λI)=det[3−λ000a2−λdeb01−λ0c0f−λ]=−λ(3−λ)(2−λ)(1−λ)
Os zeros de p(λ) são 0, 1, 2, 3, que, consequentemente, são os autovalores de J. Uma vez que os autovalores são distintos e não dependem de a, b, c, d, e ou f, então a matriz é diagonalizável para qualquer valor real que essas variáveis assumam.
Portanto, a alternativa correta é a D.
Questão 03
O vetor diretor de uma reta r é →v=(−1,2) e passa pelo ponto P(−5,−5). A outra reta s tem pendente m=−2 e passa pelo ponto N(0,5). Em relação à disposição das retas, elas:
- (A) São perpendiculares.
- (B) São paralelas.
- (C) Se cruzam.
- (D) São tangentes.
- (E) Não são retas.
Resolução
Através do vetor →v, calculamos a inclinação da reta r
mr=2−0−1−0=−2
Basicamente, fizemos o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pela origem e pelo ponto (−1,2).
Observe que o valor obtido, mr=−2, é igual à inclinação da reta s, que foi chamada de pendente na questão (não me pergunte o porquê).
Quando os coeficientes angulares de duas retas são iguais, então elas são paralelas.
Consequentemente, a alternativa B é a correta.
Questão 04
Dados os vetores →u=(5,4) e →v=(−3,2), calcule o produto escalar e o ângulo que elas formam entre si:
- (A) 7; 107°
- (B) 7; -107°
- (C) -7; 72°
- (D) 7; 72°
- (E) -7; 107°
Resolução
Primeiramente, calculamos o produto escalar
→u⋅→v=5×(−3)+4×2=−7
Para calcular o ângulo entre os dois vetores, utilizaremos a fórmula do produto escalar
→u⋅→v=|→u||→v|cosθ
θ é o ângulo entre os dois vetores. Isolando cosθ, teremos
cosθ=→u⋅→v|→u||→v|=−7√52+42√(−3)2+22=−7√41√13=−7√533
No POSCOMP não é permitido o uso de calculadoras, logo calcular o valor exato do ângulo na prova é infactível (é necessário calcular arco cosseno).
Vamos utilizar a eliminação de alternativas. Como o produto escalar é igual a -7, as alternativas A, B e D estão incorretas.
Observe que cosθ é negativo, portanto o ângulo deve estar no segundo ou no terceiro quadrante. Uma vez que o ângulo 72° está no primeiro quadrante, então a alternativa C está incorreta.
Portanto, a alternativa correta é a E.
Questão 06
Determine os valores de a e b para que a função abaixo seja contínua em todo o seu domínio:
f(x)={−3.sen(x)se x<−π2a.sen(x)+bse −π2≤x≤π2cos(x)se x>π2
- (A) a=32;b=32
- (B) a=−32;b=32
- (C) a=32;b=−32
- (D) a=−32;b=−32
- (E) a=23;b=32
Resolução
Para que a função seja contínua, precisamos que a função −3.sen(x) seja igual a a.sen(x)+b no ponto x=−π2 e que a função cos(x) seja igual a a.sen(x)+b no ponto x=π2.
Para o ponto x=−π2, temos
−3.sen(−π2)=a.sen(−π2)+b−3.(−1)=a.(−1)+b3=−a+b−a+b=3
Para o ponto x=π2, temos
cos(π2)=a.sen(π2)+b0=a+ba+b=0
Com isso, temos o sistema
{−a+b=3a+b=0
Da segunda equação, segue que a=−b. Substituindo na primeira equação, temos
−(−b)+b=32b=3b=32
Consequentemente, a=−32. Portanto, a alternativa correta é a B.
Referências
- [1] DANTE, L. R. Matemática, Volume único. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2005.
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