Questões Resolvidas do POSCOMP 2018 de Matemática (Parte 1)

Nesta postagem, você encontrará a resolução das questões 1, 3, 4 e 6 de matemática do POSCOMP 2018.

Índice

• Questão 01
• Questão 03
• Questão 04
• Questão 06
• Referências

Para mais questões resolvidas, acesse a página POSCOMP.

Questão 01

Para quais valores de $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ a matriz $J=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 & 0\\a & 2 & d & e\\b & 0 & 1 & 0\\c & 0 & f & 0\end{bmatrix}$ é diagonalizável?

• (A) Não pode ser diagonalizável.
• (B) Apenas para números inteiros.
• (C) Somente para números positivos.
• (D) Para quaisquer valores.
• (E) Somente para valores nulos.

Resolução

Uma condição suficiente para que uma matriz de ordem $n$ seja diagonalizável é que ela possua $n$ autovalores distintos.

Os autovalores são os zeros do polinômio característico da matriz. Para a matriz $J$, teremos

$$\begin{align*}p(\lambda) &=\det(J-\lambda I)\\&=\det\begin{bmatrix}3-\lambda & 0 & 0 & 0\\a & 2-\lambda & d & e\\b & 0 & 1-\lambda & 0\\c & 0 & f & -\lambda \end{bmatrix}\\&=-\lambda(3-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)\end{align*}$$

Os zeros de $p(\lambda)$ são $0$, $1$, $2$, $3$, que, consequentemente, são os autovalores de $J$. Uma vez que os autovalores são distintos e não dependem de $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ ou $f$, então a matriz é diagonalizável para qualquer valor real que essas variáveis assumam.

Portanto, a alternativa correta é a D.

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Questão 03

O vetor diretor de uma reta $r$ é $\vec{v} = (−1,2)$ e passa pelo ponto $P(-5, -5)$. A outra reta $s$ tem pendente $m=-2$ e passa pelo ponto $N(0, 5)$. Em relação à disposição das retas, elas:

• (A) São perpendiculares.
• (B) São paralelas.
• (C) Se cruzam.
• (D) São tangentes.
• (E) Não são retas.

Resolução

Através do vetor $\vec{v}$, calculamos a inclinação da reta $r$

$$m_r=\frac{2-0}{-1-0}=-2$$

Basicamente, fizemos o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pela origem e pelo ponto $(-1,2)$.

Observe que o valor obtido, $m_r=-2$, é igual à inclinação da reta $s$, que foi chamada de pendente na questão (não me pergunte o porquê).

Quando os coeficientes angulares de duas retas são iguais, então elas são paralelas.

Consequentemente, a alternativa B é a correta.

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Questão 04

Dados os vetores $\vec{u}= (5,4)$ e $\vec{v}= (−3,2)$, calcule o produto escalar e o ângulo que elas formam entre si:

• (A) 7; 107°
• (B) 7; -107°
• (C) -7; 72°
• (D) 7; 72°
• (E) -7; 107°

Resolução

Primeiramente, calculamos o produto escalar

$$\vec{u}\cdot\vec{v}=5\times(-3)+4\times 2=-7$$

Para calcular o ângulo entre os dois vetores, utilizaremos a fórmula do produto escalar

$$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$$

$\theta$ é o ângulo entre os dois vetores. Isolando $\cos\theta$, teremos

$$\begin{align*}\cos\theta &=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\\&=\frac{-7}{\sqrt{5^2+4^2} \sqrt{(-3)^2+2^2}}\\&=\frac{-7}{\sqrt{41} \sqrt{13}}\\&=\frac{-7}{\sqrt{533}}\end{align*}$$

No POSCOMP não é permitido o uso de calculadoras, logo calcular o valor exato do ângulo na prova é infactível (é necessário calcular arco cosseno).

Vamos utilizar a eliminação de alternativas. Como o produto escalar é igual a -7, as alternativas A, B e D estão incorretas.

Observe que $\cos\theta$ é negativo, portanto o ângulo deve estar no segundo ou no terceiro quadrante. Uma vez que o ângulo 72° está no primeiro quadrante, então a alternativa C está incorreta.

Portanto, a alternativa correta é a E.

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Questão 06

Determine os valores de $a$ e $b$ para que a função abaixo seja contínua em todo o seu domínio:

$$f(x)=\begin{cases}-3.\operatorname{sen}(x)&\text{se }x<-\cfrac{\pi}{2}\\a.\operatorname{sen}(x)+b&\text{se }-\cfrac{\pi}{2}\leq x \leq\cfrac{\pi}{2}\\\cos(x)&\text{se }x>\cfrac{\pi}{2}\end{cases}$$

• (A) $a=\cfrac{3}{2};b=\cfrac{3}{2}$
• (B) $a=-\cfrac{3}{2};b=\cfrac{3}{2}$
• (C) $a=\cfrac{3}{2};b=-\cfrac{3}{2}$
• (D) $a=-\cfrac{3}{2};b=-\cfrac{3}{2}$
• (E) $a=\cfrac{2}{3};b=\cfrac{3}{2}$

Resolução

Para que a função seja contínua, precisamos que a função $-3.\operatorname{sen}(x)$ seja igual a $a.\operatorname{sen}(x)+b$ no ponto $x=-\cfrac{\pi}{2}$ e que a função $\cos(x)$ seja igual a $a.\operatorname{sen}(x)+b$ no ponto $x=\cfrac{\pi}{2}$.

Para o ponto $x=-\cfrac{\pi}{2}$, temos

$$\begin{align*}-3.\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = a.\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)+b\\-3.(-1) = a.(-1)+b\\3 = -a+b\\-a+b=3\end{align*}$$

Para o ponto $x=\cfrac{\pi}{2}$, temos

$$\begin{align*}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = a.\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)+b\\0 = a+b\\a+b=0\end{align*}$$

Com isso, temos o sistema

$$\begin{cases}-a+b=3\\a+b=0\end{cases}$$

Da segunda equação, segue que $a=-b$. Substituindo na primeira equação, temos

$$\begin{align*}-(-b)+b=3\\2b=3\\b=\frac{3}{2}\end{align*}$$

Consequentemente, $a=\cfrac{-3}{2}$. Portanto, a alternativa correta é a B.

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Referências

• [1] DANTE, L. R. Matemática, Volume único. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2005.