
Questão
Seja E=R3. Os vetores {(1,2,3),(2,5,8),(1,3,7)} são independentes?
- (A) Não.
- (B) Sim.
- (C) Não pode ser calculado.
- (D) Sim, se fosse no espaço de R2
- (E) Seriam independentes se o 1º vetor fosse (1,5,7).
Resolução
Para resolver esta questão, utilizaremos a seguinte notação para representar os vetores
→v=(1,2,3)→u=(2,5,8)→w=(1,3,7)
A seguir, apresentarei duas formas de resolver este problema.
Primeira forma de resolução
O primeiro método de resolução consiste em utilizar o conceito de independência linear de vetores.
Esse conceito diz que os vetores de conjunto de vetores em Rn é linearmente independente se nenhum dos vetores for uma combinação linear dos demais vetores [1].
Matematicamente, isso significa que, dado um conjunto de vetores {→v1,→v2,…,→vn}, onde →vi∈Rn, a expressão a seguir só será válida se as constantes ai forem iguais a zero [1]
a1→v1+a2→v2+…+an→vn=→0.
Aqui, →0 é o vetor nulo. No nosso problema, toda essa teoria pode ser traduzida na seguinte expressão
a→v+b→u+c→w=→0a(1,2,3)+b(2,5,8)+c(1,3,7)=(0,0,0).
Os vetores →v, →u e →w, serão independentes se expressão acima for satisfeita apenas quando as constantes a, b e c forem iguais a zero.
Desenvolvendo a expressão, obtemos
(a,2a,3a)+(2b,5b,8b)+(c,3c,7c)=(0,0,0)(a+2b+c,2a+5b+3c,3a+8b+7c)=(0,0,0).
Igualando as componentes dos vetores, obteremos o seguinte sistema linear homogênio 3×3
{a+2b+c=02a+5b+3c=03a+8b+7c=0
Em forma matricial, temos
[121253387][abc]=[000].
Num sistema linear homogênio, se o determinante da matriz dos coeficientes for zero, então ele é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. Por outro lado, se o determinante não for zero, então ele admitirá apenas a solução trivial, isto é, (0,0,0,…,0) [2].
Em outras palavras, se o determinante da matriz de coeficientes for zero, então os vetores serão linearmente dependentes. Se for diferente de zero, então os vetores serão linearmente independentes, já que a expressão a→v+b→u+c→w=→0 só será válida se as constantes a, b e c forem iguais a zero.
Finalmente, calculando o determinante via Regra de Sarrus, temos

Como o determinante é diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes, logo a resposta B é a correta.
Segunda forma de resolução
Se você sobreviveu a toda essa explicação teórica, temos boas notícias: existe um método mais rápido para resolver o problema! Para isso, basta calcular o determinante da matriz formada pelos vetores [2].
Distribuímos os vetores →v, →u e →w nas linhas de uma matriz:
[→v→u→w]=[123258137]
Agora, basta calcular o determinante:

Como o determinante é diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes.
Ou seja, mais uma vez confirmamos que a alternativa correta é a B.
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Referências
- [1] REMAT (UFRGS). Dependência e independência linear. Disponível em <https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s3-dependx00eancia_e_independx00eancia_linear.html>. Acesso em 03 de novembro de 2019.
- [2] DANTE, L. R. Matemática, volume único. 1 ed. São Paulo: Ática, 2005.
Solução passo a passo dessa questão no Youtube: POSCOMP 2019: Questão 02
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