POSCOMP 2019: Questão 02 Resolvida (Álgebra Linear)

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Questão

Seja E=R3. Os vetores {(1,2,3),(2,5,8),(1,3,7)} são independentes?

  • (A) Não.
  • (B) Sim.
  • (C) Não pode ser calculado.
  • (D) Sim, se fosse no espaço de R2
  • (E) Seriam independentes se o 1º vetor fosse (1,5,7).

Resolução

Para resolver esta questão, utilizaremos a seguinte notação para representar os vetores

v=(1,2,3)u=(2,5,8)w=(1,3,7)

A seguir, apresentarei duas formas de resolver este problema.

Primeira forma de resolução

O primeiro método de resolução consiste em utilizar o conceito de independência linear de vetores.

Esse conceito diz que os vetores de conjunto de vetores em Rn é linearmente independente se nenhum dos vetores for uma combinação linear dos demais vetores [1].

Matematicamente, isso significa que, dado um conjunto de vetores {v1,v2,,vn}, onde viRn, a expressão a seguir só será válida se as constantes ai forem iguais a zero [1]

a1v1+a2v2++anvn=0.

Aqui, 0 é o vetor nulo. No nosso problema, toda essa teoria pode ser traduzida na seguinte expressão

av+bu+cw=0a(1,2,3)+b(2,5,8)+c(1,3,7)=(0,0,0).

Os vetores v, u e w, serão independentes se expressão acima for satisfeita apenas quando as constantes a, b e c forem iguais a zero.

Desenvolvendo a expressão, obtemos

(a,2a,3a)+(2b,5b,8b)+(c,3c,7c)=(0,0,0)(a+2b+c,2a+5b+3c,3a+8b+7c)=(0,0,0).

Igualando as componentes dos vetores, obteremos o seguinte sistema linear homogênio 3×3

{a+2b+c=02a+5b+3c=03a+8b+7c=0

Em forma matricial, temos

[121253387][abc]=[000].

Num sistema linear homogênio, se o determinante da matriz dos coeficientes for zero, então ele é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. Por outro lado, se o determinante não for zero, então ele admitirá apenas a solução trivial, isto é, (0,0,0,,0) [2].

Em outras palavras, se o determinante da matriz de coeficientes for zero, então os vetores serão linearmente dependentes. Se for diferente de zero, então os vetores serão linearmente independentes, já que a expressão av+bu+cw=0 só será válida se as constantes a, b e c forem iguais a zero.

Finalmente, calculando o determinante via Regra de Sarrus, temos

Cálculo de determinante via regra de Sarrus

Como o determinante é diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes, logo a resposta B é a correta.

Segunda forma de resolução

Se você sobreviveu a toda essa explicação teórica, temos boas notícias: existe um método mais rápido para resolver o problema! Para isso, basta calcular o determinante da matriz formada pelos vetores [2].

Distribuímos os vetores v, u e w nas linhas de uma matriz:

[vuw]=[123258137]

Agora, basta calcular o determinante:

Cálculo de determinante via regra de Sarrus

Como o determinante é diferente de zero, então os vetores são linearmente independentes.

Ou seja, mais uma vez confirmamos que a alternativa correta é a B.

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Referências

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