POSCOMP 2019: Questão 03 Resolvida (Geometria Analítica)

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Questão

Encontre a equação da reta s, que passa pelo ponto A(3,4) e que é perpendicular à reta r:x+y5=0

  • (A) r:5x2y+2=0
  • (B) r:x+y+4=0
  • (C) r:2x+y=0
  • (D) r:xy+1=0
  • (E) r:x3y+2=0

Observação: perceba que há um erro nas alternativas, onde, ao invés de representar a reta perpendicular por s, conforme o enunciado, está representando-a por r. Todavia, o erro é irrelevante para resolver a questão.

Resolução

Inicialmente, convertemos a equação geral da reta r na equação reduzida da reta, isto é, colocando a equação na forma y=mx+n, onde m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear [1]:

x+y5=0y=x+5.

Os coeficientes são m=1 e n=5.

Denominaremos a equação reduzida de reta s perpendicular à r a seguinte forma:

s:y=mpx+np

Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é igual a 1. Ou seja, os coeficientes angulares das duas retas deverão satisfazer a seguinte igualdade

m.mp=1

Substituindo m, temos

(1).mp=1mp=11mp=1

Agora, substituindo mp=1 em s, temos

s:y=x+np

Para encontrar o coeficiente np, substituímos os valores de x e y do ponto A(3,4) na equação anterior:

y=x+np4=3+np43=np1=npnp=1

Substituindo np, temos

s:y=x+1

Agora, converte-se a equação para a forma ax+by+c=0:

s:x+y1=0

Por último, multiplicamos os dois membros da equação por 1, obtendo uma equação equivalente (esse passo serve apenas para adequar os coeficientes da equação à alternativa correta)

s:xy+1=0

Ou seja, a equação da reta perpendicular à reta r é s:xy+1=0. Portanto, a alternativa correta é a D.

Mais questões

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Resolverei as questões conforme o tempo permitir e de acordo com os meus conhecimentos. Como eu não sei resolver todas as questões, recomendo que você consulte também o gabarito oficial do exame.

Referências

  • [1] DANTE, L. R. Matemática, volume único. 1 ed. São Paulo: Ática, 2005.

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