
Questão
Encontre a equação da reta s, que passa pelo ponto A(3,4) e que é perpendicular à reta r:x+y−5=0
- (A) r:5x−2y+2=0
- (B) r:x+y+4=0
- (C) r:2x+y=0
- (D) r:x−y+1=0
- (E) r:x−3y+2=0
Observação: perceba que há um erro nas alternativas, onde, ao invés de representar a reta perpendicular por s, conforme o enunciado, está representando-a por r. Todavia, o erro é irrelevante para resolver a questão.
Resolução
Inicialmente, convertemos a equação geral da reta r na equação reduzida da reta, isto é, colocando a equação na forma y=mx+n, onde m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear [1]:
x+y−5=0y=−x+5.
Os coeficientes são m=−1 e n=5.
Denominaremos a equação reduzida de reta s perpendicular à r a seguinte forma:
s:y=mpx+np
Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é igual a −1. Ou seja, os coeficientes angulares das duas retas deverão satisfazer a seguinte igualdade
m.mp=−1
Substituindo m, temos
(−1).mp=−1mp=−1−1mp=1
Agora, substituindo mp=1 em s, temos
s:y=x+np
Para encontrar o coeficiente np, substituímos os valores de x e y do ponto A(3,4) na equação anterior:
y=x+np4=3+np4−3=np1=npnp=1
Substituindo np, temos
s:y=x+1
Agora, converte-se a equação para a forma ax+by+c=0:
s:−x+y−1=0
Por último, multiplicamos os dois membros da equação por −1, obtendo uma equação equivalente (esse passo serve apenas para adequar os coeficientes da equação à alternativa correta)
s:x−y+1=0
Ou seja, a equação da reta perpendicular à reta r é s:x−y+1=0. Portanto, a alternativa correta é a D.
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Referências
- [1] DANTE, L. R. Matemática, volume único. 1 ed. São Paulo: Ática, 2005.
Solução passo a passo dessa questão no Youtube: POSCOMP 2019: Questão 03
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