POSCOMP 2019: Questão 05 Resolvida (Cálculo Diferencial e Integral)

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Questão

Calcule o limx2x386x23x3

  • (A) -2
  • (B) ∞
  • (C) 0
  • (D) 1
  • (E) -1

Resolução

Aqui, temos um caso típico de indeterminação do tipo 0/0. A forma mais simples de se resolver é utilizando a Regra de L'Hospital [1]. Derivando a função no numerador e a função no denominador, obtemos um limite equivalente, porém sem a indeterminação.

limx2x386x23x3=limx23x212x9x2=3.2212.29.22=3.4249.4=122436=1212=1

Ou seja, a alternativa correta é a E.

Existe também um segundo método para resolver. Como a função na qual queremos calcular o limite é o quociente entre dois polinômios, então a indeterminação 0/0 ao calcular o limite com x2 significa que x=2 é uma raiz desses polinômios. Isso também significa que os polinômios são múltiplos de x2.

Dessa forma, podemos eliminar a indeterminação fatorando os polinômios com o objetivo de eliminar esse fator x2. O polinômio no denominador é o mais fácil de fatorar:

6x23x3=3x2(x2)

A fatoração do polinômio no numerador pode ser feita com o auxílio da divisão polinomial, conforme a imagem.

Divisão polinomial

Com isso, temos:

limx2x386x23x3=limx2(x2+2x+4)(x2)3x2(x2)=limx2x2+2x+43x2=22+2.2+43.22=4+4+43.4=1212=1

Novamente, concluímos que a alternativa E é a correta.

Gráfico do limite
Gráfico representando a função do enunciado. O ponto destacado corresponde ao limite calculado.

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Resolverei as questões conforme o tempo permitir e de acordo com os meus conhecimentos. Como eu não sei resolver todas as questões, recomendo que você consulte também o gabarito oficial do exame.

Referências

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