
Questão
Para quais valores de a e b, f(x) é contínua em x=1 e x=4.
f(x)={xse x≤1ax+bse 1<x<4−2xse 4≤x
- (A) a=−9 e b=−3
- (B) a=−3 e b=4
- (C) a=1 e b=1
- (D) a=−1 e b=2
- (E) a=2 e b=3
Resolução
A função f(x) pode ser dividida em três intervalos:
- no primeiro intervalo (−∞,1], f(x)=g(x)=x;
- no segundo intervalo (1,4), f(x)=h(x)=ax+b;
- no terceiro intervalo [4,+∞), f(x)=k(x)=−2x.
Isoladamente, a função é continua em cada um desses intervalos. O problema ocorre nas "emendas" em x=1 e x=4.
Para que a função seja contínua nesses pontos, basta encontrarmos as constantes a e b tais que g(1)=h(1) e k(4)=h(4). Isto é, a extremidade direita da reta g(x) deve coincidir com a extremidade esquerda de h(x).
Já a extremidade direita da reta h(x) deve coincidir com a extremidade esquerda de k(x). Em suma, ax+b é uma reta que irá conectar o primeiro intervalo da função com o segundo.
Para o primeiro intervalo, temos:
g(1)=h(1)1=a.1+ba+b=1
Para o segundo intervalo, temos:
k(4)=h(4)−2.4=4.a+b4a+b=−8
Com isso, temos o seguinte sistema
{a+b=1(1)4a+b=−8(2)
Isolando a na equação (1), obtemos a=1−b. Substituindo a na equação (2), temos
4.(1−b)+b=−84−4b+b=−8−3b=−8−4−3b=−12b=−12−3b=4
A partir do valor de b, podemos calcular a
a=1−ba=1−4a=−3
Ou seja, a=−3 e b=4. Portanto, a alternativa correta é a B.

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