POSCOMP 2019: Questão 06 Resolvida (Cálculo Diferencial e Integral)

Questão

Para quais valores de $a$ e $b$, $f(x)$ é contínua em $x = 1$ e $x = 4$.

$$f(x)=\begin{cases}x & \text{se }x\leq 1\\ax+b & \text{se }1<x<4\\-2x & \text{se }4\leq x\end{cases}$$

• (A) $a = -9$ e $b = -3$
• (B) $a = -3$ e $b = 4$
• (C) $a = 1$ e $b = 1$
• (D) $a = -1$ e $b = 2$
• (E) $a = 2$ e $b = 3$

Resolução

A função $f(x)$ pode ser dividida em três intervalos:

• no primeiro intervalo $(-\infty, 1]$, $f(x)=g(x)=x$;
• no segundo intervalo $(1,4)$, $f(x)=h(x)=ax+b$;
• no terceiro intervalo $[4,+\infty)$, $f(x)=k(x)=-2x$.

Isoladamente, a função é continua em cada um desses intervalos. O problema ocorre nas "emendas" em $x=1$ e $x=4$.

Para que a função seja contínua nesses pontos, basta encontrarmos as constantes $a$ e $b$ tais que $g(1)=h(1)$ e $k(4)=h(4)$. Isto é, a extremidade direita da reta $g(x)$ deve coincidir com a extremidade esquerda de $h(x)$.

Já a extremidade direita da reta $h(x)$ deve coincidir com a extremidade esquerda de $k(x)$. Em suma, $ax+b$ é uma reta que irá conectar o primeiro intervalo da função com o segundo.

Para o primeiro intervalo, temos:

$$\begin{align*}g(1)&=h(1)\\1&=a.1+b\\a+b&=1\end{align*}$$

Para o segundo intervalo, temos:

$$\begin{align*}k(4)&=h(4)\\-2.4&=4.a+b\\4a+b&=-8\end{align*}$$

Com isso, temos o seguinte sistema

$$\begin{cases}a+b=1\quad &(1)\\4a+b=-8\quad &(2)\end{cases}$$

Isolando $a$ na equação (1), obtemos $a=1-b$. Substituindo $a$ na equação (2), temos

$$\begin{align*}4.(1-b)+b&=-8\\4-4b+b&=-8\\-3b&=-8-4\\-3b&=-12\\b&=\frac{-12}{-3}\\b&=4\end{align*}$$

A partir do valor de $b$, podemos calcular $a$

$$\begin{align*}a&=1-b\\a&=1-4\\a&=-3\end{align*}$$

Ou seja, $a=-3$ e $b=4$. Portanto, a alternativa correta é a B.

Gráfico representando a função do enunciado e seus quatro intervalos. A função é contínua, porém ela não é derivável em x=1 e em x=4.

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