POSCOMP 2019: Questão 06 Resolvida (Cálculo Diferencial e Integral)

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Questão

Para quais valores de a e b, f(x) é contínua em x=1 e x=4.

f(x)={xse x1ax+bse 1<x<42xse 4x

  • (A) a=9 e b=3
  • (B) a=3 e b=4
  • (C) a=1 e b=1
  • (D) a=1 e b=2
  • (E) a=2 e b=3

Resolução

A função f(x) pode ser dividida em três intervalos:

  • no primeiro intervalo (,1], f(x)=g(x)=x;
  • no segundo intervalo (1,4), f(x)=h(x)=ax+b;
  • no terceiro intervalo [4,+), f(x)=k(x)=2x.

Isoladamente, a função é continua em cada um desses intervalos. O problema ocorre nas "emendas" em x=1 e x=4.

Para que a função seja contínua nesses pontos, basta encontrarmos as constantes a e b tais que g(1)=h(1) e k(4)=h(4). Isto é, a extremidade direita da reta g(x) deve coincidir com a extremidade esquerda de h(x).

Já a extremidade direita da reta h(x) deve coincidir com a extremidade esquerda de k(x). Em suma, ax+b é uma reta que irá conectar o primeiro intervalo da função com o segundo.

Para o primeiro intervalo, temos:

g(1)=h(1)1=a.1+ba+b=1

Para o segundo intervalo, temos:

k(4)=h(4)2.4=4.a+b4a+b=8

Com isso, temos o seguinte sistema

{a+b=1(1)4a+b=8(2)

Isolando a na equação (1), obtemos a=1b. Substituindo a na equação (2), temos

4.(1b)+b=844b+b=83b=843b=12b=123b=4

A partir do valor de b, podemos calcular a

a=1ba=14a=3

Ou seja, a=3 e b=4. Portanto, a alternativa correta é a B.

Gráfico a função contínua
Gráfico representando a função do enunciado e seus quatro intervalos. A função é contínua, porém ela não é derivável em x=1 e em x=4.

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Resolverei as questões conforme o tempo permitir e de acordo com os meus conhecimentos. Como eu não sei resolver todas as questões, recomendo que você consulte também o gabarito oficial do exame.

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